単純形状モデルによる検証

弾性静解析

本検証においては、片持ち梁を図9.1.1のようにメッシュ分割したものを対象とした。 検証条件については図9.1.2に示す荷重条件を変えたexA~exGの7条件について解析を行った。 なお、exGはexAと同じ荷重条件で、直接法ソルバーを使用した場合の検証ケースである。

表 9.1.1~表 9.1.7にケース別検証結果を示す。


図 9.1.1 片持ち梁のメッシュ分割例(六面体要素)
(a) exA,G:集中荷重
(b) exD:重力
(c) exB:面分布荷重
(d) exE:遠心力
(e) exC:体積荷重
(f) exF:熱荷重
項目
ヤング率 $E = 4000.0\ kgf/mm^2$
長さ $L = 10.0\ mm$
ポアソン比 $\nu = 0.3$
断面積 $A = 1.0\ mm^2$
質量密度 $\rho = 8.0102 x 10^{-10}\ kg\,s^2/mm^4$
断面二次モーメント $I = 1.0/12.0\ mm^4$
重力加速度 $g = 9800.0\ mm/s^2$
線熱膨張率 $\alpha = 1.0 \times 10^{-5}$
表 9.1.2 片持ち梁モデルの検証条件
表 9.1.1 exA:集中荷重問題の検証結果
ケース名 要素数 予測値:$\delta_{max}=$ -1.000 備考
NASTRAN ABAQUS FrontISTR
A231 40 -0.338 -0.371 -0.371 33節点 / 平面応力状問題
A232 40 -0.942 -1.002 -1.002 105節点 / 平面応力状問題
A241 20 -0.720 -0.711 -0.711 33節点 / 平面応力状問題
A242 20 -0.910 -1.002 -1.002 85節点 / 平面応力状問題
A341 240 -0.384 -0.384 -0.386 99節点
A342 240 -0.990 -0.990 -0.999 525節点
A351 80 -0.353 -0.355 -0.351 99節点
A352 80 -0.993 -0.993 -0.992 381節点
A361 40 -0.954 -0.985 -0.984 99節点
A362 40 -0.994 -0.993 -0.993 220節点
A731 40 - - -0.991 33節点 / 直接法
A741 20 - - -0.996 33節点 / 直接法
表 9.1.2 exB:面分布荷重問題の検証結果
ケース名 要素数 予測値:$\delta_{max}= -3.750$ 備考
NASTRAN ABAQUS FrontISTR
B231 40 -1.281 -1.403 -1.403 33節点 / 平面応力状問題
B232 40 -3.579 -3.763 -3.763 105節点 / 平面応力状問題
B241 20 -3.198 -2.680 -2.680 33節点 / 平面応力状問題
B242 20 -3.426 -3.765 -3.765 85節点 / 平面応力状問題
B341 240 -1.088 -1.449 -1.454 99節点
B342 240 -3.704 -3.704 -3.748 525節点
B351 80 -3.547 -1.338 -1.325 99節点
B352 80 -0.3717 -3.716 -3.713 381節点
B361 40 -3.557 -3.691 -3.688 99節点
B362 40 -3.726 -3.717 -3.717 220節点
B731 40 - - -3.722 33節点 / 直接法
B741 20 - - -3.743 33節点 / 直接法
表 9.1.3 exC:体積荷重問題の検証結果
ケース名 要素数 予測値:$\delta_{max}=$ -2.944e-5 備考
NASTRAN ABAQUS FrontISTR
C231 40 - -1.101e-5 -1.101e-5 33節点 / 平面応力状問題
C232 40 - -2.951e-5 -2.951e-5 105節点 / 平面応力状問題
C241 20 - -2.102e-5 -2.102e-5 33節点 / 平面応力状問題
C242 20 - -2.953e-5 -2.953e-5 85節点 / 平面応力状問題
C341 240 - -1.136e-5 -1.140e-5 99節点
C342 240 - -2.905e-5 -2.937e-5 525節点
C351 80 - -1.050e-5 -1.039e-5 99節点
C352 80 - -2.914e-5 -2.911e-5 381節点
C361 40 - -2.895e-5 -2.893e-5 99節点
C362 40 - -2.915e-5 -2.915e-5 220節点
C731 40 - - -2.922e-5 33節点 / 直接法
C741 20 - - -2.938e-5 33節点 / 直接法
表 9.1.4 exD:重力問題の検証結果
ケース名 要素数 予測値:$\delta_{max}=$ -2.944e-5 備考
NASTRAN ABAQUS FrontISTR
D231 40 -1.101e-5 -1.101e-5 -1.101e-5 33節点 / 平面応力状問題
D232 40 -2.805e-5 -2.951e-5 -2.951e-5 105節点 / 平面応力状問題
D241 20 -2.508e-5 -2.102e-5 -2.102e-5 33節点 / 平面応力状問題
D242 20 -2.684e-5 -2.953e-5 -2.953e-5 85節点 / 平面応力状問題
D341 240 -1.172e-5 -1.136e-5 -1.140e-5 99節点
D342 240 -2.906e-5 -2.905e-5 -2.937e-5 525節点
D351 80 -1.046e-5 -1.050e-5 -1.039e-5 99節点
D352 80 -2.917e-5 -2.914e-5 -2.911e-5 381節点
D361 40 -2.800e-5 -2.895e-5 -2.893e-5 99節点
D362 40 -2.919e-5 -2.915e-5 -2.915e-5 220節点
D731 40 - - -2.922e-5 33節点 / 直接法
D741 20 - - -2.938e-5 33節点 / 直接法
表 9.1.5 exE:遠心力問題の検証結果
ケース名 要素数 予測値:$\delta_{max}=$ 2.635e-5 備考
NASTRAN ABAQUS FrontISTR
E231 40 2.410e-3 2.616e-3 2.650e-3 33節点 / 平面応力状問題
E232 40 2.447e-3 2.627e-3 2.628e-3 105節点 / 平面応力状問題
E241 20 2.386e-3 2.622e-3 2.624e-3 33節点 / 平面応力状問題
E242 20 2.387e-3 2.627e-3 2.629e-3 85節点 / 平面応力状問題
E341 240 2.708e-3 2.579e-3 2.625e-3 99節点
E342 240 2.639e-3 2.614e-3 2.638e-3 525節点
E351 80 2.642e-3 2.598e-3 2.625e-3 99節点
E352 80 2.664e-3 2.617e-3 2.616e-3 381節点
E361 40 2.611e-3 2.603e-3 2.603e-3 99節点
E362 40 2.623e-3 2.616e-3 2.616e-3 220節点
E731 40 - - 2.619e-3 33節点 / 直接法
E741 20 - - 2.622e-3 33節点 / 直接法
表 9.1.6 exF:熱応力荷重問題の検証結果
ケース名 要素数 予測値:$\delta_{max}$= 1.000e-2 備考
NASTRAN ABAQUS FrontISTR
F231 40 - 1.016e-2 1.007e-2 33節点 / 平面応力状問題
F232 40 - 1.007e-2 1.007e-2 105節点 / 平面応力状問題
F241 20 - 1.010e-2 1.010e-2 33節点 / 平面応力状問題
F242 20 - 1.006e-2 1.006e-2 85節点 / 平面応力状問題
F341 240 - 1.047e-2 1.083e-2 99節点
F342 240 - 1.018e-2 1.022e-2 525節点
F351 80 - 1.031e-2 1.062e-2 99節点
F352 80 - 1.015e-2 1.017e-2 381節点
F361 40 - 1.026e-2 1.026e-2 99節点
F362 40 - 1.016e-2 1.016e-2 220節点
表 9.1.7 exG:直接法の検証結果(集中荷重問題)
ケース名 要素数 予測値:δmax= -1.000 備考
NASTRAN ABAQUS FrontISTR
G231 40 -0.338 -0.371 -0.371 33節点 / 平面応力状問題
G232 40 -0.942 -1.002 -1.002 105節点 / 平面応力状問題
G241 20 -0.720 -0.711 -0.711 33節点 / 平面応力状問題
G242 20 -0.910 -1.002 -1.002 85節点 / 平面応力状問題
G341 240 -0.384 -0.384 -0.386 99節点
G342 240 -0.990 -0.990 -0.999 525節点
G351 80 -0.353 -0.355 -0.351 99節点
G352 80 -0.993 -0.993 -0.992 381節点
G361 40 -0.954 -0.985 -0.984 99節点
G362 40 -0.994 -0.993 -0.993 220節点
G731 40 - - -0.991 33節点 / 直接法
G741 20 - - -0.996 33節点 / 直接法

非線形静解析

(2-1) exnl1: 幾何学非線形解析

検証ケースexIの検証モデルは検証ケースexA~Gのモデルと同一のものである。 図9.1.3に検証モデルの概念図を示す。 このモデルについて幾何学的非線形解析を実施する。 また、検証結果を表9.1.8に示す。

非線形計算は、最終荷重1.0Pに対して、荷重増分値0.1P,10ステップとする。


図 9.1.3 検証モデル
表 9.1.8 exI:検証結果(最大たわみ量履歴)
ケース名 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 線形解
I231 - - - - - - - - - - -
I232 - - - - - - - - - - -
I241 - - - - - - - - - - -
I242 - - - - - - - - - - -
I341 0.039 0.077 0.116 0.154 0.193 0.232 0.270 0.309 0.348 0.386 0.386
I342 0.099 0.200 0.300 0.400 0.499 0.599 0.698 0.797 0.896 0.995 0.999
I351 0.035 0.070 0.105 0.141 0.176 0.211 0.246 0.281 0.316 0.351 0.351
I352 0.099 0.198 0.298 0.397 0.496 0.595 0.693 0.792 0.890 0.987 0.992
I361 0.070 0.139 0.209 0.278 0.348 0.417 0.487 0.556 0.625 0.694 0.984
I362 0.099 0.197 0.298 0.397 0.496 0.595 0.694 0.793 0.891 0.988 0.993

(2-2)  exnl2: 弾塑性変形解析

本検証問題はNational Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.): Test NL1 from NAFEMSを参考し、 幾何学的非線形および複数の硬化則を取り入れ弾塑性変形解析を行った。図9.1.4に解析モデルを示す。


図9.1.4 弾塑性変形解析モデル

(1) 検証条件

項目
材料 Mises弾塑性材
ヤング率 E = 250 GPa
ポアソン比 ν = 0.25
初期降伏応力 5 MPa
初期降伏ひずみ 0.25×10^-4
等方硬化係数 H_i = 0 または 62.5 GPa

(2) 境界条件

項目 境界条件
ステップ1 節点2と3に強制変位 $u_{x} = 0.2500031251 *10^{-4} $
ステップ2 節点2と3に強制変位 $u_{x} = 0.25000937518*10^{-4} $
ステップ3 節点3と4に強制変位 $u_{y} = 0.2500031251 *10^{-4} $
ステップ4 節点3と4に強制変位 $u_{y} = 0.25000937518*10^{-4} $
ステップ5 節点2と3に強制変位 $u_{x} = -0.25000937518*10^{-4} $
ステップ6 節点2と3に強制変位 $u_{x} = -0.2500031251 *10^{-4} $
ステップ7 節点3と4に強制変位 $u_{y} = -0.25000937518*10^{-4} $
ステップ8 節点3と4に強制変位 $u_{y} = -0.2500031251 *10^{-4} $

ここで示していない節点はすべて完全拘束される。 この問題の理論解は以下のとおりである。

ひずみ ($\times10^{-4}$)
[$\varepsilon_x$, $\varepsilon_y$, $\varepsilon_z$]
相当応力($MPa$)
[$H_i=0\ H_k=0$; $H_i=62.5\ H_k=0$]
0.25, 0, 0 5.0; 5.0
0.50, 0, 0 5.0; 5.862
0.50, 0.25, 0 5.0; 5.482
0.50, 0.50, 0 5.0; 6.362
0.25, 0.50, 0 5.0; 6.640
0, 0.50, 0 5.0; 7.322
0, 0.25, 0 3.917; 4.230
0, 0, 0 5.0; 5.673

これに対して、計算結果は以下のとおりである。

ひずみ ($\times10^{-4}$)
[$\varepsilon_x$, $\varepsilon_y$, $\varepsilon_z$]
相当応力($MPa$
[$H_i=0\ H_k=0$; $H_i=62.5\ H_k=0$])
$$\varepsilon_{x}$$ $$\varepsilon_{y}$$
0.25, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.0 (0.0%)
0.50, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.862 (0.0%)
0.50, 0.25, 0 5.0 (0.0%); 5.482 (0.0%)
0.50, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 6.362 (-0.05%)
0.25, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 6.640 (-0.21%)
0, 0.50, 0 5.0 (0.0%); 7.322 (-0.34%)
0, 0.25, 0 3.824 (-2.4%); 4.230 (-2.70%)
0, 0, 0 5.0 (0.0%); 5.673 (5.673 (-2.50%)

接触解析(1)

本検証問題はNational Agency for Finite Element Methods and Standards (U.K.):接触パーチテスト問題CGS-4を参考し、 摩擦ありの有限すべり接触問題機能をテストするものである。 図9.1.5に解析モデルを示す。


図9.1.5 接触解析モデル

この問題の釣り合い条件は以下のとおりである。

$$Fcos\alpha - Gsin\alpha = \pm f_{c}$$

粘着摩擦段階では摩擦力は$$f_{c} = E_{t}\text{Δu}$$であり、すべり摩擦段階では $$f_{c} = \mu(G \cos \alpha + F \sin \alpha)$$となる。

計算結果と解析解との比較は以下のとおりである。

$\mu$ $F/G$解析解 $F/G$計算結果
0.0 0.1 0.1
0.1 0.202 0.202
0.2 0.306 0.306
0.3 0.412 0.412

接触解析(2): ヘルツの接触問題

本検証では無限長さ円柱と無限平面のヘルツ接触問題を解析した。 円柱の半径をR=8mmとし、変形体のヤング率E及びポアソンµ比はそれぞれ1100Mpaと0.0である。 また、接触面積は円柱の半径と比べ十分小さいと仮定し、問題の対称性も考慮して、円柱の四分の一モデルにより解析を行った。


図9.1.6 ヘルツ接触問題解析モデル

(1) 接触半径の検証結果

接触半径を計算する理論式は以下のとおりである。

$$a = \sqrt{\frac{4FR}{\pi E^{*}}}$$

ここで、 $$E^{*} = E/2(1 - \mu^{2})$$ である。 本計算では圧力F=100の時、接触半径a=1.36となる。

図9.1.7では接触点の等価節点力を示している。この節点力分布を外挿して、接触半径が得られる。


図9.1.7 接触点の等価節点力分布

(2) 最大せん断応力の検証結果

理論解では、接触位置 $$z = 0.78a$$ において最大せん断応力が $$\tau_{\max} = 0.30\sqrt{\frac{\text{FE}^{*}}{\pi R}}$$ である。 本計算条件では $$\tau_{\max} = 14.2$$ となる。 これに対して、 $$\tau_{\max} = 15.6$$ の計算結果が得られた。


図9.1.8 せん断応力分布(最大値=15.6)

(3) 固有値解析

検証ケースexJ~Kの検証モデルは検証ケースexA~Gのモデルと同一のものである。 図9.1.9に検証モデルの概念図を示す。 このモデルについて固有値解析を実施する。 求める固有値は1次~3次固有値とする。 なお、exJでは反復法ソルバーを、exKでは直接法ソルバーを使用するものとする。 また、検証結果を表9.1.9~表 9.1.12に示す。


図 9.1.9 検証モデル

片持ち梁の振動固有値は次式で求まる。

第1次 $$ n_1 = \frac{1.875^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } $$ 第2次 $$ n_2 = \frac{4.694^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } $$ 第3次 $$ n_3 = \frac{7.855^2}{2 \pi l^2} \sqrt{ \frac{gEI}{\omega} } $$

検証モデルの特性値は

項目
$I$ $10.0 mm$
$E$ $4000.0 kgf /mm^2$
$l$ $1.0/12.0 mm^4$
$\omega$ $7.85 * 10^{-6} kgf/mm^3$
$g$ $9800.0 mm/sec^2$

である。従って3次までの固有値は次のとおりである。

モード番号
n_1 3.609e3
n_2 2.262e4
n_3 6.335e4
表 9.1.9 exJ:反復法での検証結果(1次固有値)
ケース名 要素数 予測値:n1=3.609e3 備考
NASTRAN FrontISTR
J231 40 5.861e3 5.861e3 33節点 / 平面応力状問題
J232 40 3.596e3 3.593e3 105節点 / 平面応力状問題
J241 20 3.586e3 4.245e3 33節点 / 平面応力状問題
J242 20 3.590e3 3.587e3 85節点 / 平面応力状問題
J341 240 5.442e3 5.429e3 99節点
J342 240 3.621e3 3.595e3 525節点
J351 80 3.695e3 4.298e3 99節点
J352 80 3.610e3 3.609e3 381節点
J361 40 3.679e3 3.619e3 99節点
J362 40 3.611e3 3.606e3 220節点
表 9.1.10 exJ:反復法での検証結果(2次固有値)
ケース名 要素数 予測値:n2=2.262e4 備考
NASTRAN FrontISTR
J231 40 3.350e4 3.351e4 33節点 / 平面応力状問題
J232 40 2.163e4 2.156e4 105節点 / 平面応力状問題
J241 20 2.149e4 2.516e4 33節点 / 平面応力状問題
J242 20 2.149e4 2.143e4 85節点 / 平面応力状問題
J341 240 3.145e4 3.138e4 99節点
J342 240 2.171e4 2.155e4 525節点
J351 80 2.208e4 2.546e4 99節点
J352 80 2.156e4 2.149e4 381節点
J361 40 2.202e4 2.168e4 99節点
J362 40 2.154e4 2.144e4 220節点

注) 三次元モデルでは1次と2次が重根となるので、表中の2次の値には、3次の計算値を記述している。

表 9.1.11 exK:直接法での検証結果(1次固有値)
ケース名 要素数 予測値:n1=3.609e3 備考
NASTRAN FrontISTR
J231 40 5.861e3 5.861e3 33節点 / 平面応力状問題
J232 40 3.596e3 3.593e3 105節点 / 平面応力状問題
J241 20 3.586e3 4.245e3 33節点 / 平面応力状問題
J242 20 3.590e3 3.587e3 85節点 / 平面応力状問題
J341 240 5.442e3 5.429e3 99節点
J342 240 3.621e3 3.595e3 525節点
J351 80 3.695e3 4.298e3 99節点
J352 80 3.610e3 3.609e3 381節点
J361 40 3.679e3 3.619e3 99節点
J362 40 3.611e3 3.606e3 220節点
J731 40 - 3.606e3 220節点
J741 20 - 3.594e3 220節点
表 9.1.12 exK:直接法での検証結果(2次固有値)
ケース名 要素数 予測値:n2=2.262e4 備考
NASTRAN FrontISTR
J231 40 3.350e4 3.351e4 33節点 / 平面応力状問題
J232 40 2.163e4 2.156e4 105節点 / 平面応力状問題
J241 20 2.149e4 2.516e4 33節点 / 平面応力状問題
J242 20 2.149e4 2.143e4 85節点 / 平面応力状問題
J341 240 3.145e4 3.138e4 99節点
J342 240 2.171e4 2.155e4 525節点
J351 80 2.208e4 2.546e4 99節点
J352 80 2.156e4 2.149e4 381節点
J361 40 2.202e4 2.168e4 99節点
J362 40 2.154e4 2.144e4 220節点
J731 40 - 2.156e4 220節点
J741 20 - 2.153e4 220節点

注) 三次元モデルでは1次と2次が重根となるので、表中の2次の値には、3次の計算値を記述している。

(4) 熱伝導解析

定常熱伝導解析の共通する条件を図9.1.10に示す。 検証ケースexM~exTの個別の条件を図9.1.11に示す。 メッシュ分割は、exAと同等のものを使用することとする。

表 9.1.13~表 9.1.20にケース別に検証結果である温度分布テーブルを示す。


AB間長さ $L = 10.0m$
断面積 $A = 1.0 mm^2$

熱伝導率の温度依存性

熱伝導率 $\lambda(W/mK)$ 温度 $(^\circ C)$
50.0 0.0
35.0 500.0
20.0 1000.0
図 9.1.10 定常熱伝導解析の検証条件
exM:線形材料
exN:規定温度問題
exO:集中熱流束問題
exP:分布熱流束問題
exQ:対流熱伝達問題
exR:輻射熱伝達問題
exS:体積発熱問題
exT:内部ギャップ問題
図 9.1.11 検証ケース別解析条件
表 9.1.13 exM:線形材料による定常計算の検証結果
ケース名 要素タイプ 要素/節点数 A端からの距離(m)
A端 2.0 4.0 6.0 8,0 B端
M361A 361 40/33 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361B 361 40/105 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361C 361 20/33 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361D 361 20/85 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361E 361 240/99 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361F 361 24/525 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
M361G 361 80/99 0.0 100.0 200.0 300.0 400.0 500.0
表 9.1.14 exN:規定温度問題の検証結果
ケース名 要素タイプ 要素/節点数 A端からの距離(m)
A端 2.0 4.0 6.0 8,0 B端
ABAQUS 361 40/99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N231 231 40/33 0.0 87.2 179.5 278.0 384.1 500.0
N232 232 40/105 0.0 86.0 178.3 276.8 382.9 500.0
N241 241 20/33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N242 242 20/85 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N341 341 240/99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N342 342 24/525 0.0 87.9 179.9 278.0 383.6 500.0
N351 351 80/99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N352 352 80/381 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N361 361 40/99 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N362 362 40/330 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N731 731 40/33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
N741 741 20/33 0.0 87.3 179.7 278.2 384.3 500.0
表 9.1.15 exO:集中熱流束問題の検証結果
ケース名 要素タイプ 要素/節点数 A端からの距離(m)
A端 2.0 4.0 6.0 8,0 B端
ABAQUS 361 40/99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O231 231 40/33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O232 232 40/105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O241 241 20/33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O242 242 20/85 0.0 103.2 213.7 333.4 465.2 618.0
O341 341 240/99 - - - - - -
O342 342 24/525 0.0 104.4 214.9 334.7 466.3 614.6
O351 351 80/99 - - - - - -
O352 352 80/381 0.0 103.2 213.7 333.3 465.0 624.2
O361 361 40/99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
O362 362 40/330 0.0 103.2 213.7 333.4 465.5 623.5
O731 731 40/33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.5
O741 741 20/33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
表 9.1.16 exP:分布熱流束問題の検証結果
ケース名 要素タイプ 要素/節点数 A端からの距離(m)
A端 2.0 4.0 6.0 8,0 B端
ABAQUS 361 40/99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P231 231 40/33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P232 232 40/105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P241 241 20/33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P242 242 20/85 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P341 341 240/99 - - - - - -
P342 342 24/525 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P351 351 80/99 - - - - - -
P352 352 80/381 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P361 361 40/99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
P362 362 40/330 0.0 103.2 213.7 333.4 465.5 612.6
P731 731 40/33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.5
P741 741 20/33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
表 9.1.17 exQ:対流熱伝達問題の検証結果
ケース名 要素タイプ 要素/節点数 A端からの距離(m)
A端 2.0 4.0 6.0 8,0 B端
ABAQUS 361 40/99 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q231 231 40/33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q232 232 40/105 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q241 241 20/33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q242 242 20/85 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q341 341 240/99 - - - - - -
Q342 342 24/525 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q351 351 80/99 - - - - - -
Q352 352 80/381 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q361 361 40/99 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q362 362 40/330 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q731 731 40/33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
Q741 741 20/33 0.0 89.2 183.8 284.8 393.9 513.2
表 9.1.18 exR:輻射熱伝達問題の検証結果
ケース名 要素タイプ 要素/節点数 A端からの距離(m)
A端 2.0 4.0 6.0 8,0 B端
ABAQUS 361 40/99 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R231 231 40/33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R232 232 40/105 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R241 241 20/33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R242 242 20/85 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R341 341 240/99 - - - - - -
R342 342 24/525 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R351 351 80/99 - - - - - -
R352 352 80/381 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R361 361 40/99 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R362 362 40/330 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R731 731 40/33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
R741 741 20/33 0.0 89.5 184.4 285.8 395.3 515.2
表 9.1.19 exS:体積発熱問題の検証結果
ケース名 要素タイプ 要素/節点数 A端からの距離(m)
A端 2.0 4.0 6.0 8,0 B端
ABAQUS 361 40/99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S231 231 40/33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S232 232 40/105 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S241 241 20/33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S242 242 20/85 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S341 341 240/99 - - - - - -
S342 342 24/525 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S351 351 80/99 - - - - - -
S352 352 80/381 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S361 361 40/99 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S362 362 40/330 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S731 731 40/33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
S741 741 20/33 0.0 103.2 213.7 333.3 464.8 612.6
表 9.1.20 exT:内部ギャップ問題の検証結果
ケース名 要素タイプ 要素/節点数 A端からの距離(m)
A端 2.0 4.0 6.0 8,0 B端
ABAQUS 361 40/99 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S231 231 40/33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S232 232 40/105 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S241 241 20/33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S242 242 20/85 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S341 341 240/99 - - - - - -
S342 342 24/525 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S351 351 80/99 - - - - - -
S352 352 80/381 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S361 361 40/99 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S362 362 40/330 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S731 731 40/33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0
S741 741 20/33 0.0 88.6 182.4 282.6 387.7 500.0

線形動解析

exWでは(1)項と同様の片持ち梁を対象に線形動解析を行った。 図9.1.12に検証条件を示す。 ここでは、同一のメッシュ分割に対して、時間増分が結果へ及ぼす影響を検証した。 動的解析手法として、陰解法及び陽解法の両手法を使用し、要素タイプは361及び342を使用した。 表9.1.22及び図 9.1.13~図 9.1.15に検証結果を示す。


解析モデル

外力Fの時刻歴

加振点変位の理論解:

$$ F(t)=F_0 I(t) $$

ここで、

$$ F_0:Constant\ vector $$

$$ I(t)= \begin{cases} 0, t < 0 \\ 1, 0 \leq t \end{cases} $$

$$ u(t) = \frac{F_0 l^3}{EI} \sum^{\infty}_{i=1} \frac{1-\cos{\omega_i t}}{{\lambda_i}^4} \left\lbrace \cosh{\lambda_i}-\cos{\lambda_i}-\frac{\cosh{\lambda_i} + \cos{\lambda_i}}{\sin{\lambda_i}+\sin{\lambda_i}} (\sinh{\lambda_i} - \sin{\lambda_i}) \right\rbrace^2 $$

図 9.1.12 線形動解析の検証条件

検証条件:

長さ $L$ $10.0\ mm$
断面幅 $a$ $1.0\ mm$
断面高さ $b$ $1.0\ mm$
縦弾性係数 $E$ $4000.0\ kgf/mm^2$
ポアソン比 $\nu$ 0.3
密度 $\rho$ $1.0E-09\ kgf\,s^2/mm^3$
重力加速度 $g$ $9800.0\ mm/s^2$
外力 $F_0$ $1.0\ kgf$
要素 6 面体 1 次要素
4 面体 2 次要素
解法 陰解法
Newmark-$\beta$法のパラメータ$\gamma$ 1/2
Newmark-$\beta$法のパラメータ$\beta$ 1/4
陽解法
減衰 無し
表 9.1.21 線形動解析の検証条件 (続き)
ケース名 要素タイプ 節点数 要素数 解法 時間増分 $\Delta t$ [sec]
W361_c0_im_m2_t1 361 99 40 陰解法 1.0E-06
W361_c0_im_m2_t2 361 99 40 陰解法 1.0E-05
W361_c0_im_m2_t3 361 99 40 陰解法 1.0E-04
W361_c0_ex_m2_t1 361 99 40 陰解法 1.0E-08
W361_c0_ex_m2_t2 361 99 40 陰解法 1.0E-07
W361_c0_ex_m2_t3 361 99 40 陰解法 1.0E-06
W342_c0_im_m2_t1 342 525 240 陽解法 1.0E-06
W342_c0_im_m2_t2 342 525 240 陽解法 1.0E-05
W342_c0_im_m2_t3 342 525 240 陽解法 1.0E-04
W342_c0_ex_m2_t1 342 525 240 陽解法 1.0E-08
W342_c0_ex_m2_t2 342 525 240 陽解法 5.0E-08
W342_c0_ex_m2_t3 342 525 240 陽解法 1.0E-07
表 9.1.22 exW:片持ち梁を対象とした線形動解析の検証結果
ケース名 要素タイプ 節点数 要素数 解法 時刻 t=0.002 sec におけるz方向変位 [mm]
W361_c0_im_m2_t1 361 99 40 陰解法 1.9753 1.9302
W361_c0_im_m2_t2 361 99 40 陰解法 1.9753 1.8686
W361_c0_im_m2_t3 361 99 40 陰解法 1.9753 0.3794
W361_c0_ex_m2_t1 361 99 40 陰解法 1.9753 1.9302
W361_c0_ex_m2_t2 361 99 40 陰解法 1.9753 1.9247
W361_c0_ex_m2_t3 361 99 40 陰解法 1.9753 発散
W342_c0_im_m2_t1 342 525 240 陽解法 1.9753 1.9431
W342_c0_im_m2_t2 342 525 240 陽解法 1.9753 1.8719
W342_c0_im_m2_t3 342 525 240 陽解法 1.9753 0.3873
W342_c0_ex_m2_t1 342 525 240 陽解法 1.9753 1.9359
W342_c0_ex_m2_t2 342 525 240 陽解法 1.9753 1.9358
W342_c0_ex_m2_t3 342 525 240 陽解法 1.9753 発散

図 9.1.13 片もち梁の変形図及び相当応力分布

(a) 要素タイプ 361:陰解法

(b) 要素タイプ 361:陽解法
図9.1.14 加振点変位 $u_z$ の時刻歴

(a) 要素タイプ 342:陰解法

(b) 要素タイプ 342:陽解法
図 9.1.14 加振点変$u_z$位の時刻歴

周波数応答解析

本検証では片持ち梁を対象に周波数応答解析を行い、汎用ソフトABAQUSの結果と比較することで検証を行った。 解析モデル、検証条件を示す。

解析条件:

縦弾性係数 $E$ $210000\ N/mm^2$
ポアソン比 $\nu$ $0.3$
密度 $\rho$ $7.89E-09\ t/mm^3$
重力加速度 $g$ $9800.0\ mm/s^2$
荷重 $F_0$ $1.0\ N$
Rayleigh減衰のパラメータ $R_m$ $0.0$
Rayleigh減衰のパラメータ $R_k$ $7.2E-07$
図 9.1.15 解析モデル(4面体1次要素(要素数126、節点数55))

固有値解析から得られた5次までの固有値と加振点の周波数応答を示す。

モード FrontISTR ABAQUS
1 14952 14952
2 15002 15003
3 84604 84539
4 84771 84697
5 127054 126852

図 9.1.16 加振点の変位強度の周波数依存性